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    摘要：論文闡述了最優控制理論的基本思想、最優控制問題及常用求解方法，并且通過最優化的控制方法介紹了其在工程上的幾種應用。

    關鍵詞：最優控制；電力系統；醫療設備

    引言

    最優控制理論[1]研究和解決從一切可能的控制方案中尋找最優解的一門學科，屬于現代控制技術的核心內容，是現代理論的一個研究熱點和中心話題，著重于研究使控制系統的性能指標實現最優化的基本條件和綜合方法。最優控制理論所研究的問題可以概括為：對一個受控的動力學系統或運動過程，從一類允許的控制方案中找出一個最優的控制方案，使系統的運動在由某個初始狀態轉移到指定的目標狀態的同時，其性能指標值為最優。這類問題廣泛存在于技術領域或社會問題中。例如，確定一個最優控制方式使空間飛行器由一個軌道轉換到另一軌道過程中燃料消耗最少，選擇一個溫度的調節規律和相應的原料配比使化工反應過程的產量最多，制定一項最合理的人口政策使人口發展過程中老化指數、撫養指數和勞動力指數等為最優等，都是一些典型的最優控制問題。最優控制理論是50年代中期在空間技術的推動下開始形成和發展起來的。蘇聯學者Л.С.龐特里亞金1958年提出的極大值原理和美國學者R.貝爾曼1956年提出的動態規劃，對最優控制理論的形成和發展起了重要的作用。線性系統在二次型性能指標下的最優控制問題則是R.E.卡爾曼在60年代初提出和解決的。

    為了解決最優控制問題，必須建立描述受控運動過程的運動方程，給出控制變量的允許取值范圍，指定運動過程的初始狀態和目標狀態，并且規定一個評價運動過程品質優劣的性能指標。通常，性能指標的好壞取決于所選擇的控制函數和相應的運動狀態。系統的運動狀態受到運動方程的約束，而控制函數只能在允許的范圍內選取。因此，從數學上看，確定最優控制問題可以表述為：在運動方程和允許控制范圍的約束下，對以控制函數和運動狀態為變量的性能指標函數（稱為泛函）求取極值（極大值或極小值）。解決最優控制問題的主要方法有古典變分法、極大值原理和動態規劃。

    1.最優控制問題

    1.1最優控制問題的本質

    確定一個最優控制u^*(t)，使系統從初始狀態X(t₀)轉移到終端狀態X(t_f)，并使性能指標J[u]為極大（小）值，此時，u（t）稱為最優控制作用，記為u^*(t)。代入u^*(t)所得X^*(t)為最優狀態軌線。J為最優性能指標。

    1.2最優控制問題的性能指標

    用以下四個方程來描述：

    2.最優控制理論常用的解決方法

    ⑴間接法(又稱解析法)

    對于目標函數及約束條件具有簡單而明確的數學解析表達式的最優化問題，通常可采用間接法(解析法)來解決。

    其求解方法是先按照函數極值的必要條件，用數學分析方法(求導數方法或變分方法)求出其解析解，然后按照充分條件或問題的實際物理意義間接地確定最優解。

    ⑵直接法(數值解法)

    對于目標函數較為復雜或無明確的數學表達式或無法用解析法求解的最優化問題，通常可采用直接法(數值解法)來解決。

    直接法的基本思想，就是用直接搜索方法經過—系列的迭代以產生點的序列(簡稱點列)，使之逐步接近到最優點。直接法常常是根據經驗或試驗而得到的。

    ⑶解析法為基礎的數值解法。解析與數值計算相結合的方法。

    ⑷絡最優化方法。以網絡圖作為數學模型，用圖論方法進行投索的尋優方法。

    3.工程應用

    30多年來，最優控制理論不僅有了許多成功的應用，而且已經越出了自然控制的傳統界限，它在系統工程、經濟管理與決策，特別是空間技術等眾多領域都有其廣泛地應用，收到了非常顯著的效果。正是上述原因，人們對最優控制的研究日趨深入，如今已成為學術界非常活躍的一門學科。它正處于數學、工程學和計算機科學交叉發展的前沿。

    現在隨著工業自動化的不斷發展，最優控制理論已經應用在電力系統勵磁控制，生產與庫存管理，水資源利用與水污染防治投入控制，醫療設備控制，汽車操縱逆動力學等很多工程領域。

    下面就電力系統勵磁控制和醫療設備控制兩個領域進行具體研究。

    3.1最優控制在電力系統勵磁控制中的應用

    近年來，隨著現代控制理論及其實際應用的不斷發展，運用現代控制理論進行電力系統運行性能的最優化控制的研究工作有了迅速的發展，對如何按最優化的方法設計多參量的勵磁調節器也取得了很大進展。

    3.1.1基于非線性最優和PID技術的綜合勵磁調節器

    對于非線性系統的同步發電機而言，當它偏離系統工作點或系統發生較大擾動時，如果仍然采用基于PID技術的電力系統穩定器，就會出現誤差。為此，可以將其用基于非線性最優控制技術的勵磁調節器。但是，非線性最優控制調節器存在著對電壓控制能力較弱的缺點，所以用一種能夠將非線性最優勵磁調節器和PID技術的電力系統穩定器有機結合的新型勵磁調節器的設計原理。

    此綜合勵磁調節器是利用非線性最優控制理論的研究成果，其在非線性的勵磁控制中采用了精確線性化的數學方法，不存在平衡點線性化后的舍入誤差，因此該控制的數學模型在理論上對發電機的所有運行點都是精確的；同時針對非線性的勵磁控制調壓能力較弱的特點，又增加了PID環節，使其具有較強的電壓調節特性此裝置在小機組試驗中取得非常好的實驗效果，在平衡點附近運行和偏離平衡點較多時都具有很好的調節特性。

    3.1.2自適應最優勵磁控制器

    將自適應控制理論與最優控制理論相結合，通過多變量參數辨識、最優反饋系數計算和控制算法運算三個環節，可以實現同步發電機勵磁的自適應最優控制。

    此發電機自適應最優勵磁方案，通過采用由帶可變遺忘因子的最小二乘算法構成的多變量實時辨識器，使系統狀態方程的系數矩陣A和B中的元素值隨系統運行工況的變化而變化，再經過最優反饋系數計算，實現了同步電機的自適應最優勵磁控制。

    雖然使用線性最優控制理論求取反饋系數，但由于狀態方程的系數矩陣中的元素值隨系統運行工況的變化而變化，因而控制作用體現了電力系統的非線性特性，本質上是一種非線性控制。

    數字仿真試驗結果表明，該勵磁控制系統能夠自動跟蹤系統運行工作狀況，在線辨識不斷變化的系統參數，使控制作用始終處于最優狀態。從而改善了控制系統的動態品質，可以提高電力系統運行的穩定性。

    3.1.3基于神經網絡逆系統方法的非線性勵磁控制

    神經網絡逆系統方法將神經網絡對非線性函數逼近學習能力和逆系統方法的線性化能力相結合，構造出物理可實現的神經網絡逆系統，從而實現了對被控系統的大范圍線性化，能夠在無需系統參數的情況下構造出偽線性復合系統，從而將非線性系統的控制問題轉化為線性系的控制問題。

    在大干擾情況下，神經網絡逆系統方法的控制器暫態時間很短，超調量很小，有效地改善了系統的暫態響應品質，提高了電力系統的穩定性，此控制器還具有很好的魯棒性能。另外，神經網絡逆系統方法無需知道原系統的數學模型以及參數，，也不需要測量被控系統的狀態量，僅需要知道被控系統可逆及輸入輸出微分方程的階數，且結構簡單，易于工程實現。

    3.1.4基于灰色預測控制算法的最優勵磁控制

    預測控制是一種計算機算法，它采用多步預測的方式增加了反映過程未來變化趨勢的信息量，因而能克服不確定性因素和復雜變化的影響。灰色預測控制是預測控制的一個分支，它需建立灰微分方程，能較好地對系統作全面的分析。應用GM(1，N)對發電機的功率偏差、轉速偏差、電壓偏差序列值進行建模，經全面分析后求出各狀態量的預測值，同時根據最優控制理論求出以預測值為狀態變量的被控勵磁控制系統的最優反饋增益，從而得出具有預測信息的最優勵磁控制量。

    灰色預測控制理論中灰色建模和“超前控制”的思想較好地彌補了線性最優控制理論中精確線性化和“事后控制”對單機無窮大系統的仿真結果表明，此勵磁控制具有響應速度快、準確度高的特點，使電力系統在大小擾動下均能表現出較好的動態特性。

    3.2最優控制在醫療設備控制中的應用

    醫療設備成為醫院現代化程度的重要標志之一和提供醫療服務[2]的重要物質基礎。隨著醫院的不斷發展壯大，醫療設備的更新換代也就更為常見。各級各類醫院的醫療設備總量不斷增長，一方面滿足了日益增長的醫療衛生需求，另一方面也出現了醫療設備配置是否合理、投入資金是否得以有效利用、使用率和完好率的高低、經濟效益和社會效益好壞等一系列問題亟待研究。醫院分析醫療設備配置管理現狀，加強醫療設備，尤其是大型醫療設備的管理及效益統計和分析是相當必要的，可以指導科學投資、改善經營管理、提高綜合效益。

    因此建立醫療設備的成本效益觀念，加強設備投入與產出分析，為醫療機構科學投資、改善經營管理以及社會與經濟效益提供了重要保證。目前加強對醫用設備的成本管理，并通過控制[3]初始投資規模、合理配置資源和提高設備利用率來提高投資的經濟性是非常必要的。

    3.2.1問題分析與假設

    某醫院購買了一臺大型醫療設備投入到使用中，該醫療設備隨著運行時間的增加其磨損程度也愈來愈大，而其轉賣價將隨著使用設備的時間增加而減少；另一方面醫療設備總是要進行日常保養，花費一定的保養費，保養可以減緩設備的磨損程度，從而提高設備的轉賣價。如何確定醫療設備[4]的最優保養費和轉賣時間，使得這臺設備的經濟效益最大是本文的研究內容。

根據上述分析，現作如下假設：

（1）設備隨其運行時間的推移，磨損程度越來越大。t時刻設備的磨損程度可以用t時刻轉賣價的損失值來刻畫，其稱其為磨損函數或廢棄函數，記為m（t）。

（2）醫療設備的轉賣價是時間t的函數，計為p（t）。p（t）的大小與設備的磨損程度和保養費的多少密切相關。記初始轉賣價p（0）=p₀。

（3）保養設備[5]可以減緩設備的磨損速度，提高轉賣價。如果u(t)是單位時間的保養費，g(t）是時刻的保養效益系數（每用一元保養費所增加的轉賣價），那么單位時間的保養效益為g(t)u(t)。另外，保養費不能過大（如單位時間保養費超過單位時間產值時，保養失去了意義），只能在有界函數集中選取，記有界函數集為W，則u(t)∈W。

（4）設單位時間的產值與轉賣價的比值記為k，則kp（t）表示在t時刻單位時間的產值，即t時刻的使用率。

（5）轉賣價p（t）及單位時間的保養費u（t）都是時間t的連續可微函數。為了統一標準，采用它們的貼現值。對于貼現值的計算，例如轉賣價p（t）的貼現值計算，如果它的貼現因子為δ（經過單位時間的單位費用貼現），那么由：

（6）欲確定的轉賣價值時間t_f和轉賣價p(t_f)都是自由的。

    3.2.2模型建立

    考察的對象是設備在使用中的磨損—保養系統；轉賣價體現了磨損和保養的綜合指標，可以選作系統的狀態變量；在使用中設備磨損的不可控性強，其微弱的可控性也是通過保養體現，加之保養本身具有較強的可控性，所以選單位時間的保養費作為控制策略。這樣，醫療設備的最大經濟效益模型可以構成為在設備磨損—保養系統的（轉賣價）狀態方程：

之下，在滿足0≤u(t)≤U的函數集W中尋找最優控制策略u*(t)，使系統的經濟效益這一性能指標：

為最大，其中t_f，x(t_f)都是自由的。

    3.2.3模型分析求解

根據上述模型可以得出關于醫療設備管理的哈密頓函數

    在上述中，針對醫院大型醫療設備[6]的經濟效益問題，采用最優控制理論，建立了優化模型，得出了醫療設備最優控制策略的具體表達式，最后給出了實際算例，為醫院改善經營管理以及社會與經濟效益提供了依據。

    4.總結

    本文講解了最優控制理論[7]要解決的問題并通過實例說明最優控制理論的應用領域十分廣泛，并就其在電力系統勵磁控制和醫療設備的控制應用做了具體的研究。但實踐表明理論推導和實際應用之間是有一定差距的，實際問題往往不能夠進行精確的理論推導，因而今后要不斷深入研究最優控制理論及其求解方法，總結最優化方法的新進展，運用最優化理論解決各類工程問題，從而驗證最優化理論的效率。

參考文獻

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[2]張可驄，王麗麗，賀文鈞.醫療設備報廢的政策研究[J].醫療裝備，2007，（3）：37-38.

[3]吳受章.最優控制理論與應用[M].機械工業出版社，2008.

[4]王啟全，陳文敏，李怡勇.醫院醫療設備經濟效益評價[J].醫療衛生裝備，2003，34，（3）：11.

[5]盧強,王仲鴻,韓英鐸.輸電系統最優控制.北京：科學出版社,1982.

[6]劉洪波,胡欣.基于神經網絡逆系統方法的同步發電機非線性勵磁控制律研究.機電信息.2004,19:45-47

[7]肖智宏,周暉,朱啟晨.基于灰色預測控制算法的發電機最優勵磁控制.電網技術.2006，30（5）81-85.