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基于ARMA模型擬合的離線伺服環路辨識

文：深圳市雷賽智能控制股份有限公司吳立陳迪覃海濤龍世鵬2020年第六期

摘要：本文介紹了一種基于ARMA模型擬合的離線伺服系統環路辨識方案，與常用方案進行了比較，分析了該方案在原理、應用上的技術優勢，最后在通用伺服產品平臺上驗證該方案的有效性。實驗結果表明，該方案對噪聲不敏感，在多種負載平臺上均能獲得較高的辨識精度，并且能準確識別系統中存在的諧振模態。

通用伺服系統需要適應廣泛的負載條件，其中高階系統、柔性系統、多諧振系統等復雜系統的調試往往難以通過常用的調試經驗獲得滿意的效果。環路特性分析是解決此類問題的有效方法，其理論依據為成熟的經典控制理論，實現基礎為模型參數辨識方法。

伺服系統模型參數辨識方法從實時性角度上可分為兩大類：離線辨識與在線辨識^[1]。前者通過數據的集中存儲與處理，一次性獲得辨識結果，后者在伺服驅動器運行過程中遞推估計當前參數值。在線辨識方法在伺服應用中廣受推崇，因其能適應緩變的模型參數。但受限于嵌入式處理器的運算能力與伺服系統實時性要求，此類方法往往只能應用于慣量、電阻、電感等低階模型結構的參數辨識，無法獲得完整環路特性，并且在估算精度與響應速度存在較大的矛盾，進一步限制了其通用性。離線辨識方法相較于在線辨識方法更為成熟，應用范圍更廣，在精密、高性能伺服系統中的作用不可替代。近些年出現的狀態空間^[2]辨識方法極大地提高了辨識精度，而Hinf魯棒控制^[3]等先進控制理論的發展使得控制器能夠適應一定范圍內的模型參數變化，這些技術都進一步擴展了離線辨識技術的應用空間。

目前通用伺服產品中最廣泛應用的離線辨識方法為掃頻FFT法，該方法計算簡單可靠，可直接獲得環路的頻率特性數據，屬于無模型辨識方法。其顯著缺點為辨識精度低，對噪聲敏感。基于模型的辨識方法在各方面性能上都優于掃頻法，并且在模型結構與辨識方法上呈多元化的發展趨勢，常見的模型有AR、MA、ARMA、SS（狀態空間）,常見的辨識方法有Yule-Walker^[4]、LeastSquare最小二乘^[5]、Hankel矩陣法^[6]、Subspace子空間法^[2]。

上述模型類型中，AR模型不符合一般線性系統結構，MA模型不適用于臨界穩定系統，且需要的階數較高。系統階數相同的情況下，ARMA模型的參數數量遠少于一般結構的SS模型，在數值穩定性上具有優勢，并且ARMA模型本身可以視為SS模型的能控（或能觀）標準型。上述辨識方法雖然都有相對獨立的理論，但辨識過程中的參數擬合都無法避開最小二乘指標，只是將數據轉換為不同結構的正規方程再進行求解。對于ARMA模型，將時域激勵與響應數據簡單排布后即可用線性最小二乘方法求得結果，并且對激勵形式幾乎沒有約束。目前線性最小二乘的數值解法十分成熟，即便是秩虧方程也能準確求得結果^[7]，這對于使用高階ARMA模型對復雜系統進行過擬合的應用場景十分合適。擬合后使用平衡實現對系統進行降階即可獲得足夠精簡且準確的環路模型。

本文在原理、實現、應用層面上分別闡述基于ARMA模型擬合的伺服環路辨識技術。

1、ARMA模型結構與辨識方法

實際帶載伺服系統為非線性、分布式系統，在確定的工作點上可將其近似為線性系統，用差分方程描述，但傳動結構的分布式特性使其理論階數趨于無限，因此要用盡可能高階的ARMA模型對系統輸入-響應關系進行過擬合，才能準

確描述系統頻率特性。

N階ARMA模型結構描述如下：

其時域差分方程為：

其中（2）式為自回歸(AR)部分，（3）式為移動平均（MA）部分。差分方程的矩陣形式即為正規方程，描述如下：

當采樣點數K大于2N且H列滿秩時，方程（4）為滿秩最小二乘問題，存在唯一最小二乘解圖片1.png 當采樣點數K大于2N且H列不滿秩時，方程（4）為秩虧最小二乘問題，存在唯一最小2范數條件下的最小二乘解圖片2.png 兩種問題的解可以統一至以下形式^[8]：

圖片4.png 為圖片5.png 的偽逆（Moore-Penrose inverse），其定義由圖片6.png 的奇異值（SVD）分解得到：

H有r個線性無關列向量，D為r階對角矩陣，其對角線元素為H的r個奇異值，Ur、Vr為H的r個左、右奇異向量。

實際系統中，由于噪聲的存在，H往往具備列滿秩條件，但存在大量數值極小的奇異值，即實際問題往往介于滿秩與秩虧之間。這些奇異值會對最小二乘解的數值穩定性產生不利影響，可以對其進行截斷，再求取最小2范數解，相當于對模型進行初步的降階。

由于H與Y具有相同的數據源，包含相同的噪聲，使用Total?Least?Square作為上述方法的改進型更為合理有效，這里不再對其原理進行贅述。

2、辨識方案實現

2.1 激勵信號

使用最小二乘法對ARMA模型進行辨識時，對激勵信號u的形式未作限制，選擇頻譜成分豐富且實現簡單的激勵信號更

有利于獲得準確的辨識結果。偽隨機信號的自相關函數接近脈沖函數，頻譜成分均勻，且可用簡單邏輯運算與移位寄存器實現，是理想的激勵信號形式。

偽隨機信號生成器形式如下圖1：

Bit0~BitN為N位寄存器，P0~PN為N次本原多項式系數。在非零初值條件下，該結構輸出周期為圖片8.png 的1/-1序列，其自相關函數為：

2.2 激勵方式與數據采樣

偽隨機信號放大后從伺服轉速環路的指令端注入系統，在一定的轉速偏置條件下記錄轉速誤差與轉速反饋數據，基

本結構如下圖2：

圖2 偽隨機信號注入系統圖

閉環模型辨識時，求取u至y的擬合結果，開環模型辨識時，求取u-y至y的擬合結果。辨識過程中環路閉合，可建立勻速工作點。由于積分器的存在，速度環路低頻增益極高，u-y的低頻成分基本被環路抑制，因此開環辨識的低頻部分精度會受一定限制。

2.3、模型降階

過擬合的ARMA模型階數往往很高，其中大量模態來源于對噪聲的擬合、系統分布參數以及小慣性環節，辨識之后需要對其進行降階處理，提取關鍵模態信息，才能確保后期的環路分析與控制綜合的有效性。

平衡實現與系統Hankel奇異值的是進行系統降階、定階的有效工具，將ARMA模型轉換為能控標準型后，即可借由以

下原理實現模型簡化：

對于一個穩定系統的能控能觀實現

其能控Gramian矩陣P與能觀Gramian矩陣Q滿足Stein方程：

存在如下等價變換：

使得等價模型的能控能觀Gramian矩陣能被對角化為相同矩陣：

圖片9.png 對角線元素為系統的Hankel奇異值，從左上角按大至小的順序排布，其數值大小代表了對應模態能控能觀性的強弱。一個實際階數為r的系統，其第r個Hankel奇異值一般遠大于第r+1個，此時，截取A，B，C，D的前r階子矩陣（或子向量）構成的子系統，其頻率特性相對于原系統誤差的Hinf范數小于等于第r+1至最后一個Hankel奇異值之和的兩倍^[3]。等價變換矩陣T的求解過程參考文獻^[3]。