Optimal Control for Linear Quadratic Systems Based on MATLAB

Zhang Ping

College of Automation and Electronic Engineering, Qingdao University of Science & Technology, Qingdao, China, 266042

Abstract: In this paper, single-stage inverted pendulum system using LQR optimal control, disturbance by increasing the system itself and the LQR controller, to change the weighting matrix R and Q, comparing simulation results by MATLAB simulation under an experimental environment, have a good control effect.

Key Words: Inverted Pendulum; LQR; Optimal control

0        引言

倒立擺系統是非線性、強耦合、多變量和自然不穩定的系統。在控制過程中，它能有效地反應控制理論中諸如系統穩定性、可控性、魯棒性、系統收斂速度、隨動性以及跟蹤等問題，是檢驗各種控制理論的理想模型。線性二次型最優控制（Linear Quadratic Regulator，LQR）問題在現代控制理論中占有非常重要的位置，其優勢在于控制方案簡單，超調量小，且反應速度快，該方法不僅對單級倒立擺系統能夠進行有效控制，且已經成功的應用于直線雙倒立擺^[1]和雙足機器人的控制^[2]。

本文針對單級倒立擺系統，完成了具體的系統建模及LQR控制的MATLAB仿真，通過增加系統自身的擾動及改變LQR控制器中加權陣R，對比仿真，得到了良好的控制效果。

1 單級倒立擺建模

實際的單級倒立擺系統比較復雜，除了各組成器件的非線性外，還受到各種干擾，為分析其本質，需要對實際系統進行簡化^[4]。簡化約束條件如下：

（1）       將擺桿視為質量均勻分布的剛體細桿；

（2）       各部分的摩擦力與相對速度成正比；

（3）       施加在滑塊上的驅動力與加在功率放大器上的輸入電壓成正比，并無延時地加到滑塊上；

（4）       出皮帶輪與傳送帶之間無滑動，傳送帶無延長現象；

（5）       除滑塊與導軌之間的摩擦及擺桿轉軸的摩擦外其它摩擦及阻尼的影響均忽略。

對比仿真結果可以看出，當小車擺桿角度權重選定為合適的值，隨著小車位置權重的增加，小車位移系統階躍響應超調減小，上升時間和調整時間也加快。與此同時，也引進了一些振蕩。

5.2   加權矩陣R的研究

從降低控制系統能量要求優先角度出發，讓Q不變，R減小。這時由Riccati方程求得的系統反饋增益陣K增大。例如R=0.01時，相應的K=[-175.4699,-46.1765,-10.0000,-20.8841]。

改變加權陣Q后的響應結果如圖6，控制力輸出曲線如圖7

對比仿真結果可以看出，調整時間與超調量減小，上升時間與穩態誤差減小。但是系統穩定性很差，時控過程噪聲很大。

6     結束語

本文針對倒立擺系統進行數學建模，采用最優控制中的LQR控制方法，對系統進行局部的線性化，通過仿真實驗得到該方法作用于倒立擺系統是可行且有效的，同時分析了加權矩陣Q和R對系統性能指標的影響。

參考文獻：

[1] 劉金亨，陳今潤，呂郁青，等. 基于LQR的一階直線雙倒立擺最優控制系統研究[J].自動化技術與應用，2009,28（5）：11-13.

[2] 槐創鋒，方躍法. 5連桿雙足機器人建模和控制系統仿真[J].系統仿真學報，2008，20（20）：82-86.

[3] 李德毅，杜鶿. 不確定性人工智能[M]．北京：國防工業出版社，2005．

[4] 姜春瑞. 基于云模型理論的一階直線倒立擺控制技術研究[D]. 哈爾濱工業大學，2005.

[5] 劉豹. 現代控制理論[M]. 北京：機械工業出版社，2007.

[6] 劉金琨. 先進PID控制及其MATLAB仿真[M]. 北京：電子工業出版社，2003.1.