摘 要：在倒立擺系統的數學模型基礎上，對系統進行了性能分析。采用LQR對一級倒立擺進行了最優(yōu)控制器的設計，并將其應用于倒立擺實際控制中，實時控制效果良好。 關鍵詞：LQR，倒立擺，實時控制 [b][align=center]An Linear Inverted Pendulum Control Based on LQR Xie Lirong，Wang Zhiyong，Wang Li[/align][/b] Abstract：In this paper ,on the base of the model of the single inverted pendulum, analysy the capability of the system. An LQR - based on optimal control system is designed used to the actual control of an inverted pendulum and acquire a good effect. Keywords：LQR，Inverted Pendulum，Real Control 0 引言 　　倒立擺系統是非線性、強藕合、多變量和自然不穩(wěn)定的系統。線性二次型最優(yōu)控制（Linear Quadratic Regulator—LQR）問題在現代控制理論中占有非常重要的位置。由于線性二次型（LQ）性能指標易于分析、處理和計算，而且通過線性二次型最優(yōu)設計方法得到的控制系統具有較好的魯棒性與動態(tài)特性等優(yōu)點，線性二次型在控制界得到普遍重視。運用LQR對倒立擺進行最優(yōu)控制系統,并從實時控制效果出發(fā), 1 倒立擺系統分析 　　深圳固高公司研制開發(fā)的一級直線倒立擺GIP-100-L ,它是一個單輸入多輸出的四階控制系統,結構組成如圖1所示。 [align=center] 圖1 　倒立擺系統構成[/align] 　　1.1 倒立擺系統模型 　　對倒立擺系統進行受力分析[1]可以得到系統的狀態(tài)空間表達式為： 　　 　　1.2 倒立擺系統穩(wěn)定性分析 　　對式（1）所描述的倒立擺系統進行階躍響應分析[2]。小車位移和擺桿角度階躍響應曲線如圖2和圖3所示。 [align=center] 圖2 小車位移階躍響應曲線 圖3 小車角度階躍響應曲線[/align] 　　小車位移和擺桿角度都是發(fā)散的，倒立擺系統不穩(wěn)定。 　　1.3 倒立擺系統能控性分析 　　系統能控性是控制器設計的前提。由能控性矩陣M=[B AB …A[sup]n-1[/sup]B ]，在MATLAB中利用可控性矩陣的ctrb命令來計算，可以得出Rank（M）=4,可知系統可控。 2 LQR控制器設計 　　2.1 二次型最優(yōu)控制原理 　　設給定線性定常系統的狀態(tài)方程為 　　 　　二次型性能指標函數[3]: 　　 　　其中:加權陣Q和R是用來平衡狀態(tài)向量和輸入向量的權重,Q是半正定陣,R陣是正定陣。 　　最優(yōu)控制規(guī)律： 　　 　　 　　其中：K為最優(yōu)反饋增益，P為黎卡提矩陣方程的解。 　　黎卡提矩陣方程： 　　 　　 　　則，最優(yōu)反饋增益K為： 　　 　　2.2 LQR參數 　　由MATLAB語句K=lqr（A,B,Q,R）,取Q=diag（1000,0,70,0），求得K=[-31.623 ,-20.151,72.718,13.155]，即為LQR控制器控制器參數[5]。 3 系統仿真與實控 　　3.1系統仿真 　　在MATLAB/Simulink環(huán)境搭建如圖4所示仿真模型[4]。 [align=center] 圖4 仿真模型圖[/align] 　　運行結果如圖5所示： [align=center] 圖5 仿真結果圖[/align] 　　由圖5可以看出，系統能較好的跟蹤階躍信號，擺桿的超調量足夠小,穩(wěn)態(tài)誤差、上升時間與調整時間也符合設計指標要求。這時如果再增大Q ,系統的響應還會有所改善,但是在保證Q足夠小并兼顧其它響應指標時,系統響應已經能夠滿足要求了。 　　3.2 系統實控 　　利用固高倒立擺系統MATLAB實時控制平臺，建立系統時控模型如圖6所示： [align=center] 圖6 時控模型圖[/align] 　　利用LQR設計的控制器對倒立擺進行實時控制,可以使倒立擺達到穩(wěn)定,起擺時小車位置和擺桿角度響應曲線如圖7、圖8所示。 [align=center] 圖7 起擺過程小車位移實控曲線 圖8 起擺過程擺桿角度實控曲線[/align] 　　在倒立擺系統穩(wěn)定的情況下,對系統施加干擾 , 小車位置和擺桿角度響應曲線如圖9、圖10所示。 [align=center] 圖9 小車位移受擾動實控曲線 圖10 擺桿角度受擾動實控曲線[/align] 　　小車能迅速調整,使整個系統在很短的時間內恢復平衡。 4 結束語 　　運用LQR實現了一級倒立擺的控制，仿真和實控證明設計控制器的有效性，系統具有良好的穩(wěn)定性和魯棒性。 參考文獻： 　　[1]固高科技有限公司.固高倒立擺與自動控制原理實驗指導書[M].深圳:固高科技有限公司,2005年9月。 　　[2]鄒伯敏.自動控制理論[M].北京:機械工業(yè)出版社，2003年。 　　[3]劉豹.現代控制理論[M].北京:機械工業(yè)出版社，2007年。 　　[4]吳曉燕,張雙選.MATLAB在自動控制中的應用[M] .西安：西安電子科技大學出版社,2006年。[5]王士瑩,張峰,陳志勇,趙協廣.直線一級倒立擺的LQR控制器設計[J].信息技術.2006年, 35（6）:98～99。 　　[6]王仲民,孫建軍,岳宏.基于LQR的倒立擺最優(yōu)控制系統研究[J].工業(yè)儀表與自動化裝置.2005年,3（6）:28～32。