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    摘要：變頻調速系統引發軸系損壞的事故時有發生，初步分析認為是由軸系的彈性變形形成的振蕩環節所致。本文基于對彈性軸系的扭振機理的分析，提出在其等效電路模型的基礎上，通過虛擬電阻實現對系統扭振的抑制，并通過虛擬負電容拓寬虛擬電阻的取值范圍，其有效性經仿真得到了驗證。

1引言

    扭振現象廣泛存在于電氣傳動系統中。在多質量系統中，長軸的彈性形變是造成扭振現象的主要原因。扭振會在電機的轉速和轉矩上造成脈動，影響系統的穩定性和動態性能，嚴重時還會造成彈性軸的損害[1]。

    高性能的工程型變頻器，必須研究對彈性軸的扭振抑制方法。本文首先分析了彈性軸扭振的產生機理；然后提出了一種基于等效電路和虛擬電阻、虛擬電容的針對彈性軸的扭振抑制方法；最后通過Matlab仿真驗證了該扭振抑制方法的效果。

2扭振機理

    當電機通過長軸驅動負載時，整個系統可視為兩質量系統，彈性軸要扭轉一定角度?θ才能傳遞轉矩[2]。

圖1兩質量傳動系統

    軸的輸出轉矩：

    系統的運動方程：

    式中：s為微分算子；Ks為軸的彈性系數；Ds，Dm，DL為機械阻尼系數，一般很小，可忽略；Jm，JL為電機和負載的轉動慣量。

    系統可采用圖2所示的等效電路模型（忽略Dm和DL）來表達，其中電流源Tm，TL分別為電磁轉矩和負載轉矩，電流源Ts對應連接軸轉矩，電壓wm，wL對應電機旋轉角速度和負載旋轉角速度，電容Jm和JL分別為電機轉動慣量和負載轉動慣量，Ks和Ds分別為連接軸彈性系數和阻尼系數，其倒數對應電路模型里的電感和電阻。圖2中各電量的關系與傳動軸中各對應機械量的關系可一一對應。

圖2傳動軸系統等效電路模型

    由圖2可得到Ts與Tm間的傳遞函數為

    由式(1)可知，傳動軸系統中存在固有振蕩頻率為

    由式(1)還可求出固有振蕩頻率處Ts對Tm增益為

    由此可見，若系統中存在f0的頻率擾動分量時，傳動軸轉矩Ts將發生振蕩。其振蕩幅值與軸彈性系數Ks和軸阻尼系數Ds相關，Ks越大，Ds越小，則振蕩幅值越大。實際系統中，當負載發生跳變時，就很可能使系統引入f0的頻率擾動分量，使Ts發生振蕩，產生扭振現象。

3扭振抑制

    令Ds=0，這樣即可分析最惡劣時的情況。圖2中，電機中可控的量有Tm和wm。對于矢量控制系統，由于轉速環屬于外環，響應較慢，而轉矩環屬于內環，響應快。因此，可選擇控制Tm來達到抑制扭振的目的。這里選擇的抑制扭振方法為針對Tm形成虛擬電阻，通過電阻的阻尼作用實現對扭振的振蕩抑制。在圖2中，Tm為電流源，wm為Tm上的端口電壓，為便于小信號分析，令?Tm和?wm為Tm和wm的波動量。假設待虛擬的電阻為Rmv，則有?TmR=-?wm/Rmv。下面分析Rmv對系統的阻尼作用。

    如圖3所示，當負載產生擾動信號?TL時，對應的傳動軸轉矩擾動信號?Ts為

圖3Rmv對軸傳動系統的阻尼作用

    由式(4)可知，當Rmv趨近無窮大時，有：

    此時系統由JL，Jm和1/Ks主導的振蕩頻率為，系統的阻尼比為，直流增益為Jm/(JL+Jm)。

    當Rmv趨近0時，有：

    此時相當于將JL短路，系統由Jm和1/Ks主導的振蕩頻率為，系統的阻尼比為，直流增益為1。顯然，振蕩頻率w1<w0如圖4所示，當Rmv增加時，系統振蕩頻率由w1變為w0。

    為了保證系統有良好的阻尼效果，令(阻尼比可取0.6，對應10%超調)，可得Rmv的取值范圍為

(7)

    其中w0>w1 Jm<(Jm+JL)

    式（7）要成立，需滿足：

    若取，則由式(8)可知，約需Jm能夠取得更小。另外，由式(7)可知，Jm減小還能擴大Rmv的取值范圍。但Jm減小會使振蕩頻率w0變大，但由于Tm的帶寬限制，也不能使w0過大。

圖4Rmv變化時?Ts/?TL的幅頻曲線

    圖5給出了Rmv、Cmv對應的?TmR、?TmC的矢量合成圖。圖中，?TmR起到阻尼作用，?TmC起到調整系統振蕩頻率的作用。

圖5?Tm和?wm的矢量圖

圖6PI調節器的?Tm和?wm的矢量圖

    矢量控制中，當軸轉矩波動為?Ts時，會在wm上產生波動量?wm，轉速環會檢測到這個波動量，進而影響其調節器輸出，即電磁轉矩Tm。由此可見，轉速波動?wm會使得電磁轉矩波動?Tm為

    由式(9)可知，轉速環相當于引入了一個電阻1/KPw及一個電感1/KIw。由圖6可見，PI調節器合成后的?Tm是有利于抑制振蕩的。

    若傳動軸系統自身即滿足Jm則可直接通過虛擬電阻Rmv來達到抑制振蕩的目的，Rmv的選取方法如式(7)所示。PI調節器已經自帶虛擬電阻1/KPw，那么可求得需虛擬的電阻為Rmv_d=Rmv/(1-RmvKPw).虛擬電阻僅需在振蕩頻率附近起作用即可，為防止引入虛擬電阻后對速度環PI調節器穩定性的影響，實際應用時可采用以下形式：

    式中：fRmv需遠大于振蕩頻率f0。

    若需通過引入虛擬負電容減小Jm以拓寬Rmv的選取范圍，設需虛擬的電容為Cmv，則可得Jm減小后為Jm_d=Jm-Cmv。由PI調節器的參數，可得到需虛擬的電容為Cmv_d=Cmv-KIw/w02。根據減小后的Jm，即可進一步確定Rmv的選取范圍，從而得到Rmv_d=Rmv/(1-RmvKPw)。實現Cmv時，仍可采用式(10)的形式，將其重寫為

    由式(11)，即可根據Rmv_d和Cmv_d近似求得kd和Td：

4仿真驗證

異步電機的仿真參數如表1所示。

表1異步電機仿真參數

    驅動用的逆變器的開關頻率fsw=4.8kHz，仿真控制頻率fcon=4.8kHz，d，q軸電流環截止頻率約為fc_i=270Hz，相位裕度約為PMi=65°。

    負載及傳動軸參數為：JL=0.1kgm2，Ks=4000，Ds=0。計算可得振蕩頻率f1=w1/2p=31.8Hz，f0=w0/2p=45.5Hz。令，不改變Jm，可算得Rmv_max≈Rmv_min=0.03?。

    令轉速環PI調節器參數KPw=93，33.3，6，PI調節器轉折頻率均為10Hz，這三組參數下轉速環的截止頻率和相位裕度分別為230Hz(30°)，80Hz(65°)，17Hz(50°)。在這三組參數下，可算得對應的Rmv及阻尼比x0，x1如表2所示。

表2 3組PI調節器參數下Rmv及阻尼比x0、x1

    根據這三組參數，進行仿真，圖7給出了仿真結果。由圖7可以看出，轉速環的截止頻率越高，負載跳變時轉速波動越小。圖7a中，KPw=93時，由于x1=0.211，阻尼很弱，因此負載跳變時Ts有頻率為f1=31.8Hz的振蕩；圖7c中，KPw=6時，由于x0=0.113，阻尼很弱，因此負載跳變時Ts有頻率為f0=45.5Hz的振蕩；圖7b中，由于x0≈x1=0.6，系統具有較好的阻尼，負載跳變時Ts振蕩迅速得到抑制。仿真結果與理論分析吻合得很好。

KPw=93

KPw=33.3

KPw=6

    圖7JL=0.1kgm2，Ks=4000，Ds=0不同轉速環參數時的仿真結果

    由于該組傳動軸參數下，Jm和JL較為接近，使得滿足x0≈x1=0.6條件時Rmv的選取范圍很小。下面，使用虛擬負電容的方案來實現Ts的阻尼。由式(7)，可得到滿足x0=x1=0.6條件下，Jm變化時對應的Rmv最大值和最小值曲線，如圖8的Rmvmax和Rmvmin所示。再根據系統最大振蕩頻率f0的限制(f0≤0.2fc_i)，還可得到一條Jm最小值的曲線，這三條曲線所包圍的區間，即是Jm和Rmv所能取的區間范圍，如圖8所示。本文選取Jm=0.05kgm2，Rmv=0.045?來實現阻尼，采用KPw=6的PI調節器參數，根據式(12)可算得kd=18，Td=0.0023。圖9給出了加入該阻尼環節后KPw=6的參數下的仿真結果。對比圖9和圖7c可見，負載跳變時，Ts的振蕩明顯被阻尼，該阻尼甚至比圖7(b)的阻尼效果還好，這是由于虛擬負電容后Rmv的取值范圍變寬，使得該組參數下x0=0.64，x1=0.68，故阻尼效果更好。

圖8虛擬負電容后滿足x0=x1=0.6時Jm和Rmv的選取范圍

圖9圖7(c)的仿真參數下增加虛擬負電容后的仿真結果

    另外，由圖8可知，當Jm變化時，Rmvmin的變化并不明顯。因此，對于傳動軸參數不確定的場合，實際調試時，可以先令Cmv=0，然后調整Rmv，直到系統具有較好的阻尼效果，然后再根據式(12)，逐漸增加Cmv，直到系統阻尼良好。

5結論

    傳動系統中彈性軸的扭振模型可通過電路模型來等效，通過分析等效電路中的LC諧振機理來分析其扭振機理。在矢量控制系統中，可通過控制Tm的特性來達到抑制扭振的目的。本文的分析表明，針對Tm的虛擬電阻Rmv能實現對傳動系統軸扭振的抑制。另外針對Tm的虛擬負電容Cmv能拓寬虛擬電阻Rmv的選取范圍，可進一步提升系統抑制扭振的性能。