柔性臂因其質量輕、結構設計緊湊等優點被廣泛應用在航天器、柔性機器人等領域，但是，其末端在運行過程中易產生抖動，嚴重影響其工作效率和定位精度，甚至危害整個系統的安全。國內外研究人員針對柔性臂的振動抑制問題，提出了PID控制、模糊控制、自適應控制、滑模變結構控制、最優控制等控制方法，對柔性臂振動抑制的反饋控制方法進行了探討。輸入整形技術由Singer和Seering首次提出，被廣泛應用于柔性結構的振動抑制，該方法屬于前饋控制方法，也是一種獨特的振動抑制方法。Youmin等將輸入整形技術應用于橋式起重機，抑制抖動的同時也提高了起重機的運輸效率；Alsaibie等應用輸入整形抑制了液體在運輸過程中的晃動；Dhanda等對輸入整形器進行改進，設計最優輸入整形器有效抑制了起重機的殘留振動；Pradhan等將輸入整形與自適應控制結合來控制擺動負載的左右晃動。但是輸入整形技術在抑制柔性系統振動的同時會導致系統響應時間延遲，嚴重降低系統的工作效率。

本文針對輸入整形技術引起的響應時間延遲問題，基于最優控制理論設計最優輸入整形器以減小系統的響應時間，并將最優輸入整形器與模糊PID控制器結合進行柔性臂的振動抑制。

柔性臂動力學模型

繞伺服電機轉軸旋轉運動的柔性臂機械結構和物理模型如圖1所示。圖1(a)中，伺服電機轉軸與轉盤連接，柔性臂的一端通過轉盤夾頭連接在電機轉軸上，質量塊附于另一端，基座用于固定整個實驗平臺。

圖1(b)中，設以電機轉軸中心O為原點建立慣性系XOY和體坐標系xOy，柔性臂的彈性模量為E，橫截面對中性軸的慣性矩為I，密度為，截面面積為A，長度為l，末端質量塊質量為ml，伺服電機轉軸、轉盤的轉動慣量之和為J0，柔性臂運動所對應剛體轉角為θ(t)，轉軸輸入控制力矩為u(t)。

圖1柔性臂機械結構與物理模型

假設柔性臂橫向振動遠大于軸向振動且橫向振動較小，根據振動力學原理，柔性臂可視為Euler-Bernoulli梁。設P(X,Y)為時刻t的柔性臂上任意一點的坐標，w(x,t)為P點在坐標系xOy下的橫向彈性振動位移，根據Euler-Bernoulli梁的振動理論，均勻材料等截面柔性臂的彎曲自由振動微分方程為

                     (1)

由假設模態法，設

                    (2)

式中，Wi(x)為柔性臂在x處的振型函數或模態函數，qi(t)是相應振型的幅值，稱為模態坐標。

定義，根據柔性臂的四個邊界條件

圖9柔性臂振動抑制的實驗平臺