控制實踐和控制理論的脫節，除了理論研究和實踐的導向不同，一個很重要的原因在于缺少溝通語言，即缺少對現實被控系統的數學描述(也即模型)。如圖1(a) 所示，一方面，控制理論研究者們直接從數學式子(一般為微分方程)出發，通過數學推導和證明，給出數學上的系統性質(如穩定域、可觀可控等)以及理論上的控制率，缺少對數學式子如何得來、式子能在多少程度上描述現實系統，式子中每一個數學變量如何與現實被控系統中的物理量相關聯、這些數學變量是否可以實時準確獲知、運算這些式子的所需要的計算資源等現實因素的關注;另一方面，工程師面對的是一個個具體的被控系統(完成特定工作/工藝過程)，需要處理工藝邏輯、信號采集/處理、硬件配置、軟件編程實現等問題，且面臨著現場調試壓力，自然無暇也無力深入思考自己的被控系統到底如何用數學語言描述，本質歸類為哪一類問題此類的話題了。

　　控制實踐和控制理論之間缺少可以溝通的語言，使得一方面現實中亟待解決的控制難題高度依賴PID調試經驗和手動干預，無法實現良好的自動化，更不用說數字化和智能化了;另一方面，大量在數學上證明嚴謹、優美的控制理論，卻不能根據實際情況有效改進，從而在工業界有效落地推廣。建模作為建立這一溝通渠道的有效方法， 卻面臨著失語的境地，使作者深感遺憾。

　　即使對于想要擺脫機理模型依賴的數據驅動控制算法來說，如果要在現實被控系統真正落地應用，建立合乎需要的數學描述(不要求精確，但應該能大概描述出系統主要動態特性)仍是必要的，這有助于控制算法的設計和調試，避免不必要的試錯時間和成本。比如對于PID控制器(本質為數據驅動控制器)來說，如果系統為一階慣性環節(比如電機控制中的電流環、速度環等)，通常選用PI就足夠了;如果對象為二階環節(如位置控制系統)， 則通常需要考慮使用微分功能，以改善相位滯后，增大系統阻尼系數。

　　正確認識和認真對待建模在控制算法中的作用顯得尤為重要(圖1b)，也格外緊迫，尤其在制造業升級轉型和強調源頭自主創新的今天。“好的控制算法應該是強大物理概念和數學工具的完美結合，即在對實際物理世界中的問題深刻理解的基礎上，找到合適的數學工具去描述和解決。具體到控制算法的設計，系統動力學分析和建模作為聯結物理世界和數學世界的工具顯得尤為重要。”

　　圖 1 控制算法，控制理論、控制實踐的關系

　　模型是啥?

　　首先應該明確模型是為定量分析、正確描述被控系統從而設計合適的控制算法而存在的，這里面模型指對現實被控系統主要問題的數學描述。實際中，很多人會認為數學模型是不必要的，會把問題復雜化，直接在現場根據PID相關調參經驗調試機器不就好了嗎，為什么要牽涉一大堆數學公式。然而，即使對于PID現場調試，適當的模型以及以此為基礎的分析仍是必要的：

　　? 你總要知道能控制的部分(控制輸入)是如何作用于系統并影響到系統輸出吧，是起正作用還是反作用，是立馬起作用還是過段時間起作用，還是慢慢起作用，如圖2所示的幾種常見系統的階躍曲線(為方便對比，進行了歸一化處理);

　　? 你總要知道你所面對的機器的工作過程/工況吧， 這些工況下哪些參數/條件會改變，變化的幅度和快慢，以及是如何影響你的系統;

　　? 你總要知道你的控制目標吧，精度是多少，動態響應/帶寬是多少，允許的超調量。

　　以上這些，需要做某種定量性描述，并作一定理論分析，才能幫助你找到方向進行調試。比如，對于圖2所示的幾種典型階躍響應曲線，借助于傳遞函數模型便可以分析、確定系統類型(如時間常數/響應快慢，是否有延遲，延遲/時間常數之比，是否欠阻尼，是否是最小相位系統)等信息，這些信息的確定有助于選擇合適的PID 控制器設計策略，是PID自動整定(Auto-tuning)的基礎。實際上，取決于所要描述問題的類型，模型可以表現為多種形式。如果是動態過程，可以用頻域傳遞函數描述也可以用時域狀態空間描述，可以在連續域描述，也可以在離散域描述;如果是靜態非線性關系，可以用多項式也可以用特殊函數，甚至模糊、神經網絡等描述;或者兩者結合形成的Hammerstein-Wiener模型。

圖 2 典型階躍響應曲線以及對應傳遞函數模（延遲環節多見于過程控制系統）

　　如何建模?

　　在控制算法設計的語境中，建模是以控制算法設計/實施為導向的，不是要把整個系統都進行建模，而對和控制性能最相關、能夠代表當前被控系統主要問題的部分進行建模。

　　比如對于機器人控制系統來說，如果是一些低速， 精度要求不高的場合，顯然沒有必要涉及動力學建模，只需要知道運動學正向和逆向模型即可。如果涉及高速、高精度場合，那么考慮動力學模型，深入到關節柔性甚至對摩檫力準確建模就是必須的，因為關節柔性、摩檫力決定了在這些場合下的機器人控制性能。

　　因此，建模的第一原則：確定建模目的以及建模涉及的范圍(描述的主要問題)。在此基礎上，建模的第二原則：模型結構應該和所要描述對象的結構特點相匹配， 也就是模型能夠直觀、顯性地描述問題，最好能夠直接從模型中的數學式子中分析問題的本質。對于被控系統來說，各種不同類型的問題(如被控對象特性、反饋噪聲、外部干擾等)都可能會主導控制系統性能的好壞。對不同類型的問題描述，勢必要采取不同的模型形式、結構。例如：如果被控對象是定常線性動態系統，且只關心輸入輸出之間的聯系，那么采用基于Laplace變換的頻域傳遞函數就是合適的;如果還牽涉到其他關聯狀態變量的觀測或反饋，那么可以考慮采用狀態空間表示形式;如果被控對象是非線性動態系統，則一般考慮基于狀態變量的時域微分方程;

　　? 如果被控對象存在參數變化，需要用到參數辨識， 則根據參數變化快慢/規律，是否有界以及與輸入/輸出數據之間的關系等信息，可以將參數解析模型寫成不同的形式。比如，對于機器人控制系統中的參數辨識，需要將一些待辨識參數進行組合形成待辨識參數向量，為避免對加速度信息的使用，需要對參數解析模型做些特別改進(參考Slotine and Li's Approach);

　　? 存在高頻未建模動態、不確定性的情況下，如果能夠知道這些未知信息的結構或者如何影響系統，也應該通過數學式子表達出來(加性/乘性不確定，是否有界，是否互相獨立等);

　　? 如果無法準確獲知被控對象的機理，無法從第一原理出發通過理論推導建立準確機理模型，只能建立數據模型，那么也應顯性表示輸入-輸出的關系，比如當前時刻的輸出和之前多少時刻的輸入相關聯，干擾/噪聲是通過什么通道進入系統等(參考無模型自適應控制的相關做法);

　　? 如果是對外部干擾進行描述，如非線性摩檫力、力矩波動等，則可以考慮多項式擬合或者諧波疊加等形式; 如果還需要描述外部干擾動態或與控制系統狀態變量之間的關聯，則可以考慮狀態空間表示形式，對原有動態系統狀態變量進行擴展;

　　? 如果反饋噪聲是工頻干擾/逆變器干擾引起，可以用諧波疊加進行描述，如果是隨機噪聲，則可以考慮白噪聲等進行描述。

　　對以上問題進行恰當的描述，有助于從本質上分析問題，更準確匹配已有的控制算法(比如，控制算法中常用到的卡爾曼濾波器假設噪聲是白噪聲，對于周期噪聲干擾就未必合適，需要經過改造或者選用其他濾波方法)， 并最大程度地組織已知的信息，從而為設計高效的控制算法奠定基礎(控制算法對已知信息利用得越充分，達到的控制效果越好，比如對于自適應控制等算法，知道參數上下界，可以保證辨識參數有界并改善瞬態性能;對于魯棒控制，如果知道不確定性的結構信息，可以降低控制算法保守性)。

　　在選擇合適模型結構/形式的基礎上，建模的第個三原則是：模型應該兼顧精確性和實時運算性能。在控制算法設計的語境中，根據需要，模型的信息是需要用到控制算法的不同模塊中，如圖3所示。模型的信息(模型一般需要經過某種形式轉換后才能用到控制系統中，因此圖中用需要表示隱性/間接用到模型信息的情況)可以用在輸入整形/軌跡規劃，前饋補償組成的外環前向通道上，也可以用在反饋控制器上(如模型預測、自適應、魯棒/滑膜控制)，或者內環的觀測器通道上(如狀態/干擾估計以及參數辨識)。這些模塊或多或少需要對模型進行實時運算。如果模型太過復雜，盡管能夠相對精確的描述問題，但也由此增大了實時運算量(需要更高性能的控制器或者相對較長的運算周期)，同時也會導致對應的控制器階數變高，增加了控制系統分析、設計的難度。因此，在滿足控制性能要求的前提下，應該在模型精確性和實時運算中做折衷處理。

圖 3 模型信息用于控制算法設計

　　最后，模型在真正用于控制系統前，建模的第四個原則是：模型必須經過某種形式的驗證/實際測試，以確保模型的正確性和準確性(正確性要求模型能夠反映問題的主要變化規律，準確性則要求模型和實際之間的誤差相對較小)。

　　總結

　　建立被控系統的數學模型，分析其本質特性，并建立起物理直覺，在控制算法設計及調試階段都尤為重要：

　　? 在控制算法設計階段，在認真分析被控系統的基礎上，通過建模不僅能夠科學分析自己面臨的真正問題，而且擁有了進入控制理論大廈的鑰匙，在項目初期便能選擇大體正確的方向以及合適的控制算法類型，并從中選擇合適的控制方法并進行合乎需要的改造、組合乃至創新、超越。這一從物理世界到數學世界的抽象是必要的，也是真正從本質上確切認識事物，進行源頭創新的關鍵;

　　? 在控制算法調試階段，有了對模型的深入分析和物理直覺，可以幫助工程師迅速判斷調試中出現的問題并分析可能的原因，并由此提供正確的調試方向或者算法改進方法，避免無謂的試錯，縮短項目周期。這一從數學世界到物理世界的回歸也是必要的，可以幫助理論創新真正的落地，并在實踐中不斷完善。

【作者簡介】李磊，浙江大學機電博士，佐治亞理工學院訪問學者(2016-2017)，目前從事自動化控制算法研發工作。博士期間在IEEE TMech、TIE等期刊發表多篇文章，目前擔任TMech,IJIRA(International Journal of Intelligent Robotics and Applications)等機電國際期刊審稿人。