摘要：目的本文以雙關節SCARA機械臂為對象，研究在其關節角度可測、角速度不可測情況下的力控制問題。方法基于觀測器理論，文章中利用Walcott-Zak觀測器改進后的魯棒滑模觀測器，對系統的狀態變量進行觀測，用滑模控制方法實現對工業機器人的力控制。結果通過Matlab對觀測器的觀測效果控制器的控制效果進行實際的仿真，結果表明估計值會很快速的收斂于實際值，且機械臂的末端力很好的跟蹤期望力。結論運用改進后的魯棒滑模觀測器對機械臂力控制系統的關節角速度估計效果是良好的，具有良好的魯棒性，且為滑模力控制提供了比較準確的角速度值，并且在滑模力控制器的作用下，得到了良好的力/位跟蹤效果。

關鍵詞：工業機器人；滑模觀測器；力控制；滑模控制

1.引言

工業機器人關節是一個復雜的多輸入，多輸出的非線性系統，受負載變化以及各種不可預見的外部干擾和不確定因素的影響[1,2]。所以我們對工業機器人進行控制時，面臨著許多問題。特別是在工業機器人力控制方面，我們面臨著控制模型精確度，控制噪聲大干擾大等問題。

滑模變結構控制是20世紀50年代由前蘇聯學者Emelyano提出的變結構控制,它以其獨特的優點,為不確定性系統提供了一種很有前途的系統控制綜合方法[3]。在工業機器人力/位置控制方面，混合控制方法能很好的實現力位控制解耦，但其主要缺點是系統模型的精度要求較高，為了解決這一問題，文獻[4,5]采用滑膜控制對系統參數進行直接補償，消除參數的不確定性。文獻[6,7]采用基于參考模型的自適應控制方法，設計自適應調整率,來解決參數補償的盲目性。通過以上文獻可以看出，滑膜控制理論在工業機器人控制的作用是有效的。

利用簡單有效的辦法，使控制系統更加準確快速，是我們共同追求的目標。

2．問題提出及解決方案

在機械臂進行力控制當中，需要檢測實際力來作為控制所需要的量。但在實際情況下，可以測得機械臂的關節角度和位置，但無法通過傳感器來測得機械臂關節角加速度。如何利用有效的方法，克服這些不確定條件，實現準確的力控制效果，是本文的重點研究問題。

Walcott和Zak等人采用變結構技術,提出了Walcott-Zak觀測器,對系統中的非線性/不確定性均具有魯棒性[8]。但在實際的設計當中，設計參數矩陣必須滿足假設的條件設計過程繁瑣，當系統維數較高時難以設計，利用改進后的魯棒滑模觀測器，能夠實現很好的效果，即具有很強的魯棒性，設計過程也變得簡單。

運用改進的Walcott-Zak觀測器，來觀測關節角加速度，并且利用滑模力位混合控制器實現機械臂的力控制，這是本文的方案設想。

3.模型的建立

以SCARA機器人為研究對象，如圖1所示，其動力學模型如下：

                    （1）

其中，表示各個關節的位置向量，，分別表示各個關節的角速度和角加速度，表示作用于關節上的轉矩矢量，是機器人對稱且正定有界的慣性矩陣，是機器人向心力和哥氏力矩陣，表示庫倫摩擦力。且矩陣M和H可由下式準確計算得到：

                      （2）

為常數。

圖1SCARA機器人模型

其中動力學模型特性如下:

式（1）所示的機器人動力學方程有一些特性，有利于對該系統模型的研究及其觀測器的設計與分析，特性如下[9]：

特性1    慣性矩陣是對稱正定的，對所有的一致有界，即

，為正常數。                      （4）

特性2    哥氏力矩陣滿足：

，為正常數。                      （5）

特性3    斜對稱性：對適當選定的哥氏力矩陣有：

                      （6）

4.動力學狀態方程及狀態觀測器的設計

4.1動力學狀態方程

通過式（1）的機器人動力學模型，經變換可得[10]：

                      （7）

其中，

                      （8）

且

令變量，其中：，，則有

                      （9）

其中，

則機器人的動力學模型可寫成如下形式，

                      （10）

其中，

4.2狀態觀測器的設計

將式（10）可以變為如下形式

                      （11）

其中，。

且滿足，其中為正實數，為已知函數。

對于上面的系統，提出如下形式的魯棒滑模觀測器

                      （12）

有上面式（11）和式（12）得到偏差方程為

                      （13）

式中。滑模設計如下：

                      （14）

式中C為系統的輸出矩陣，，且存在Lyapunov對

滿足

，                      （15）

假設系統與觀測器的偏差有界，為正常數，提出如下滑模策略：

                      （16）

且p滿足時我們設計參數矩陣F使得（的說明見下面的證明）為Hurwitz矩陣，使系統漸進穩定，即其偏差系統達到滑模面以后將漸進收斂到平衡點。

對于矩陣F的選取采用如下算法：

(1)選擇的譜，計算相應的矩陣L；

(2)用矩陣F各個元素符號表示出矩陣M

(3)設計F使其矩陣為Hurwitz矩陣。

收斂性證明：選取Lyapunov函數沿著偏差系統（13），且

                      （17）

設計參數且偏差將策略（16）代入得

                      （18）

所以，。根據文獻[11]可得有線時間內偏差系統到達滑模平面。

到達滑模平面后

                      （19）

式子是將滑模面的分塊形式。

即將式（13）分為

                      （20）

                      （21）

定義矩陣

                      （22）

通過式（19）可以得到

                      （23）

代入（20）得

                      （24）

所以在設計時保證F使得為Hurwitz矩陣，這樣使系統（24）漸進穩定，且保證偏差系統（13）到達滑模面后趨于穩態。

5.滑模力控制器設計

在力控制器設計方面采用力位混合控制的方案，并且逐一設計其位置控制器和力控制器。

圖2力位混合控制結構圖

5.1位置控制部分控制器的設計

位置控制器本文采用簡單的滑模控制器，位置控制部分實現的是一個軌跡跟蹤控制，通過控制器，實現在機械臂在位置控制方向，實際位置對期望位置的跟蹤。

定義控制系統位置跟蹤的誤差矩陣：

                      （25）

其中，分別表示兩個關節角度和叫數度的跟蹤誤差，且和分別表示兩個關節的角度和角速度的估計值，分別為系統期望的關節角度和角速度。

滑模控制器的滑模函數向量設計為：

                      （26）

選取Lyapunov函數如下：

                      （27）

且由式（25）得：

                      （28）

根據狀態方程可得：

                      （27）

，                      （28）

所以矩陣表示關節1,2的觀測誤差。

根據趨近律方法，有

                      （29）

且其中

                      （30）

式中；

，

；

為設計參數，且

可以通過觀測器觀測值和觀測誤差，且只要控制增益矩陣為可逆矩陣，則可以設計控制律為

                      （31）

通過Walcott-Zak觀測器改進后的魯棒滑模觀測器，得到兩個關節的角速度觀測值，然后利用滑模控制器，是的機械臂在位置控制方向實現很好的位置跟蹤。

5.2力控制部分控制器的設計

設計機器人力控制器，需要把動力學方程變化如下：

                      （32）

式中為在操作空間中機器人末端受到的力向量，，J為雅克比矩陣；；

X為機器人末端在操作空間中的位移；

。

取期望的末端力為，利用

                      （33）

理想機器人末端位置為定義滑模函數為

                      （34）

其中

則

                      （35）

所以滑模力控制器為

                      （36）

通過位置控制器得到的位置控制力矩與通過力控制器得到的力控制力矩相加，得到最終的機器臂控制力矩

，即：

                      （37）

6.實驗參數設定及仿真效果

根據雙關節的SCARA機器人動力學模型以及式（10）式（11），進行Matlab仿真工作，來驗證所設計的魯棒滑模觀測器可成功的估計出機器人角速度，以及力位控制器的跟蹤效果。

給定其中的。系統初始狀態

為，觀測器初始狀態為

。并且給定期望的關節角度和關節加速度為。

對于如上系統，提出的魯棒滑模觀測器的設計方法如下：

1）滿足使為Hurwitz矩陣，選取；

2）選取，根據，保證P對稱，且使得為Hurwitz矩陣。

3）根據，求出，且保證其對稱，正定。

4）求得，選取。

其仿真結果如圖3~6。

圖3  實際值與觀測值

圖4  實際值與觀測值

圖5  實際值與觀測值

圖6  實際值與觀測值

由觀測器的仿真結果表明，開始的幾秒內，觀測器的估計值與系統的實際值存在一定的偏差，但很快的收斂于實際值，保證了觀測轉態的誤差逐漸的趨近于零。保證了其很好的觀測效果。

在上面的觀測器仿真的基礎上，我們進行力位置控制仿真設定參數。其中，位置控制器參數為

，為零矩陣。力控制器參數

。

圖7關節1實際值與期望值圖

8關節2實際值與期望值

圖9機械臂末端力跟蹤效果

通過仿真可以看出，通過基于觀測器的機械臂力控制方法，在開始時存在一定的誤差，但經過很短的時間，即實現了很好的力位置跟蹤效果。

7.結論

本文針對在機器人的力控制當中，需要通過測得的實際關節角度以及角速度來作為控制參數，而實際控制當中無法通過傳感器準確的測得其關節角速度的問題開展了設想與理論的研究。本文以SCARA雙關節機械臂為例，通過對機器人動力模型的變換，設計出一種基于Walcott-Zak觀測器改進型的魯棒滑模觀測器來針對系統的狀態變量實行觀測，并且通過滑模力位混合控制器，實現了機器人力控制。通過仿真結果可以看出，改進型的魯棒滑模觀測器具有很好的觀測效果。且所設計的力位混合控制，在實際力跟蹤控制當中，表現出良好的跟蹤控制能力，具有很強的魯棒性。

致謝！遼寧省科技創新重大專項項目(201302001）；國家自然科學基金(61100159).