摘 要提出了一類變圓弧齒輪。利用偏差函數法，給出了齒廓的完整構造過程，證明了它滿足齒廓嚙合基本定律；推導了齒廓方程等基本公式，討論了變圓弧齒輪的特性，給出了變圓弧齒廓的實例；這種齒輪具有較高的承載能力，特別便于高速、高精度數控加工，它將在重載傳動場合得到應用。 關鍵詞 齒輪 齒廓 偏差函數 嚙合原理 齒輪強度 引言 隨著科學技術的發展，對齒輪傳動的要求也不斷提高，特別在重載和小型化方面尤為突出。目前，在齒輪設計中常用的有漸開線、擺線和圓弧3種齒廓；其中，漸開線齒輪由于制造簡單，對中心距偏差不敏感等優點，得到廣泛使用，但是，它承載能力較差，較少用于重載傳動中；擺線齒輪接觸應力小，齒廓的重合度較大，有利于彎曲強度的改善，但對嚙合齒輪的制造和裝配精度要求較高；上世紀50年代出現的圓弧類齒輪彎曲強度不高，為了實現連續接觸，一般需做成斜齒輪，在制造和小型化方面受到了極大地限制。為了提高齒輪的承載能力，研究人員提出了許多新型齒廓，例如：微線段齒輪齒廓，分階式雙漸開線齒輪等，對提高齒輪的強度能起到一定作用，但是，這些新齒廓在制造或裝配等方面還存在某些不足。本文從偏差函數概念出發，提出了一種新型齒輪——變圓弧齒輪。文中介紹了變圓弧齒輪的形成原理，推導了齒廓計算公式，討論了變圓弧齒輪的特性，給出了齒廓實例。 1 變圓弧齒廓的形成原理 1．1 變圓弧齒廓的形成原理 下面根據美國學者D.C.H.Yang等提出的偏差函數（DF）法，介紹變圓弧齒廓的形成原理。 設P[sub]1[/sub]是半徑為1的齒輪節圓，θ[sub]1[/sub]為轉角，以e（θ[sub]1[/sub]）為半徑，圓心均勻分布在節圓上，畫出一系列的圓，如圖1所示（這里取e（θ[sub]1[/sub]）=r[sub]0[/sub]COS（2θ[sub]1[/sub]）；當e（θ[sub]1[/sub]）滿足一定的約束條件時，這一系列的圓可以包絡出光滑的齒廓g[sub]1[/sub]（θ[sub]1[/sub]），從圖中可看出，e1（θ[sub]1[/sub]）=||P（θ[sub]1[/sub]）-g（θ[sub]1[/sub]）ll，稱e（θ[sub]1[/sub]）為偏差函數。我們將滿足上述生成原理的一類齒廓統稱為變圓弧包絡齒廓，簡稱為變圓弧齒廓，由它構成的齒輪副稱為變圓弧齒輪副。 當取偏差函數e（θ[sub]1[/sub]）=（rcosα） θ[sub]1[/sub]時，變圓弧齒廓就是常見的漸開線齒廓；而當偏差函數取e（θ[sub]1[/sub]）=時，這時的變圓弧齒廓就是擺線齒廓；而對于普通圓弧齒輪來說，相當于偏差函數e（θ[sub]1[/sub]）只在某些離散點取值。 1．2 變圓弧齒廓的計算 從圖2可以看出，用坐標分量表示的變圓弧齒輪齒廓P[sub]1[/sub]的方程為 式中， ψ定義為在g點齒廓的法線與x軸之間的夾角，它是θ[sub]1[/sub]的函數，由圖2知 [align=center] [/align] 為了使獲得的上述齒廓能夠實際應用，還必須對偏差函數e（θ[sub]1[/sub]）的選擇做某些限制 （1）為保證齒廓曲線不相交，要求 （2）為確保方程式（3）有解，要求 （3）為保證輪廓曲線C′連續，在節圓p[sub]1[/sub]與齒廓g[sub]1[/sub]的交叉點C[sub]p[/sub]處，e（θ[sub]c[/sub][sub]p[/sub]）必須等于零。 （4）為了保證齒廓光順，在e（θ[sub]1[/sub]）最小、最大值之間必須單調變化。 （5）為了使齒輪齒數N[sub]1[/sub]取整數并且保證有一定的重合系數μ，兩個交匯點之間的角度范圍Φ[sub]1[/sub]應滿足。 2 變圓弧齒輪齒廓的嚙合原理 設一對變圓弧齒輪的齒廓相互嚙合，如圖3所示，在某一瞬時，這對共軛齒輪O[sub]1[/sub]和O[sub]2[/sub]的齒廓c[sub]1[/sub]和c[sub]2[/sub]在g點處嚙合，根據齒廓嚙合原理，共軛齒廓方程可寫成 式中，g[sub]1x[/sub]，g[sub]1y[/sub]，g2x和g[sub]2y[/sub]分別是嚙合點g在齒輪隨體直角坐標系0l和02中的坐標分量，O[sub]1[/sub]和O[sub]2[/sub]是齒輪θ[sub]1[/sub]和θ[sub]2[/sub]的轉角，而φ[sub]1[/sub]和φ[sub]2[/sub]是齒廓在g點的法線與兩個x坐標軸的夾角。 兩齒廓嚙合過程中保持接觸的條件是齒廓c[sub]1[/sub]上的g點速度V[sub]g1[/sub]和齒廓c[sub]2[/sub]上的g點速度V[sub]g2[/sub]在公法線方向的速度分量相等，即v[sub]gn1[/sub]=v[sub]gn2[/sub]；從齒廓的生成原理可知，兩齒輪的齒廓在任意嚙合點g處存在公法線n-n′它與連心線O[sub]1[/sub]O[sub]2[/sub]交于節點P，由O[sub]1[/sub]和O[sub]2[/sub]點分別向n-n′作垂線，交于n[sub]1[/sub]和n[sub]2[/sub]點，則，如圖3，則傳動比為 因此，我們得出結論：變圓弧齒輪能夠實現恒定轉速比傳動。 變圓弧齒輪副齒廓間的相對滑動速度為 一般情況下，變圓弧齒輪的壓力角是與齒輪轉角有關的變量，對漸開線齒廓，e（θ[sub]1[/sub]）=r[sub]1[/sub]cosα（θ），帶入上述壓力角計算公式可得e=a。 4 變圓弧齒輪齒廓的特點 從理論上講，變圓弧齒輪包括外嚙合齒輪副和內嚙合齒輪副。由于外嚙合的漸開線齒輪具有制造簡單，對誤差不敏感等優點，因此，下面討論的變圓弧齒輪是以提高齒輪強度為目的，用于重載場合的凸凹型內嚙合變圓弧齒輪。 如圖4所示，以節圓為分界面可以將變圓弧齒廓分割成凸齒a，a′和b，b′凹齒兩部分，其中a′，b′是a，b的鏡像，a段和b段可以用不同的偏差函數分別進行設計，但必須在節圓上相交并保證在交點處至少一階連續。 齒輪的失效形式主要是斷齒和點蝕，反映他們的性能指標包括：齒根彎曲強度和表面接觸強度；齒根彎曲應力的近似計算公式為 式中，ω為齒寬，h和b分別為力F[sub]t[/sub]作用點到齒根的距離和齒寬。 根據Hertz接觸應力理論，假設兩個齒輪采用相同的材料制造，內嚙合齒廓在接觸點g處的接觸應力計算公式為 式中ρ[sub]g1[/sub]ρ[sub]g2[/sub]分別為兩齒廓在接觸點處的曲率半徑，它們的計算公式分別為 從上述公式可知，齒面接觸應力的大小與接觸點處曲率半徑的差成正比，齒根彎曲應力和齒面接觸應力都與生成齒廓的偏差函數有關，因此，通過合理設計變圓弧齒輪的偏差函數，我們能夠獲得所需的齒根彎曲強度和表面接觸強度。變圓弧齒輪在某一瞬時的嚙合狀態與雙圓弧齒輪相似，但普通雙圓弧齒輪為了實現連續傳動必須做成斜齒輪的形式，而這里介紹的變圓弧齒輪是通過一系列不同半徑圓弧的包絡，在直齒情況下，實現了圓弧齒輪的連續傳動。 變圓弧齒輪不存在根切現象，最小齒數可以做到兩個齒。 能否實現高精度、低成本制造是限制非漸開線齒輪應用的主要原因之一，如果我們以節點為原點，選齒輪轉角、偏差函數e（θ）和壓力角a為3個進給軸，那末，在數控插補加工時，法向刀具半徑補償變得非常簡單，另外，式（3）具有閔科夫斯基勾股速端曲線的形式，容易實現高速、高精度數控加工，這是變圓弧齒輪非常重要的優點。 與其它內嚙合齒輪相似，變圓弧齒輪也存在對誤差敏感等問題。 5 變圓弧齒輪齒廓舉例 變圓弧齒輪設計的主要內容是在某些幾何約束條件下，設計出滿足強度性能要求的齒輪齒廓。變圓弧齒輪的設計大體上分為4個步驟 1）確定齒輪副參數，如：齒輪材料特性、傳動比、重合系數、模數、中心距和負載力矩等。 2）生成偏差函數。 3）構造齒廓。 4）評估齒輪副性能。滿足要求，結束；否則，轉2。 下面給出一個采用偏差函數方法設計的內嚙合正變圓弧齒輪副。設齒輪副的中心距為l，節圓半徑同為l/2，偏差函數選 圖5描繪了上述齒輪齒廓的連續凸凹接觸特性，它的重合系數為1.2。 由于篇幅的限制，有關變圓弧齒輪副設計的其它內容和方法將在以后的文章中作進一步的介紹。 6 結論 本文提出了一種新型的變圓弧齒輪，介紹了設計這種齒輪的新方法，為齒廓研究提供了新思路和更為廣闊的研究空間。由以上的推導、論證以及計算可得出以下結論： 變圓弧齒輪副滿足齒輪傳動的基本條件，它主要采用凸凹型內嚙合的傳動形式，用于重載傳動場合。 通過優化設計偏差函數，變圓弧齒輪能獲得性能優良的齒輪齒廓，特別是能使齒根彎曲應力和表面接觸應力明顯減小。它還具有結構緊湊，最小齒數可做到兩齒等優點。 齒廓設計方法物理意義明確，公式簡潔，便于進行優化設計、計算機輔助設計和制造，特別是可以很容易地實現刀具半徑補償和進行高速、高精度數控加工。 由于此類齒廓在傳動時必須點與點對應，因而對制造和裝配誤差比較敏感，齒廓必須采用高精度數控加工；該類齒輪的其他性質有待進一步研究。 參考文獻 1 吳序堂編著．齒輪嚙合原理．北京：機械工業出版社，1984 2 太原工學院齒輪研究室編著．圓弧齒輪．北京：機械工業出版社，1992