基于視覺(jué)傳感的板球系統(tǒng)依靠攝像頭采集到在板上運(yùn)動(dòng)的小球的圖像，識(shí)別出小球的質(zhì)心位置；控制系統(tǒng)通過(guò)坐標(biāo)變換計(jì)算出小球在板上的真實(shí)坐標(biāo)，并對(duì)小球的位置進(jìn)行控制。此前，對(duì)攝像機(jī)內(nèi)外參數(shù)標(biāo)定是進(jìn)行坐標(biāo)變換的關(guān)鍵。本文對(duì)板球系統(tǒng)中坐標(biāo)變換的方法進(jìn)行研究。

1 引言

板球系統(tǒng)是一個(gè)多變量、非線性控制對(duì)象，球桿系統(tǒng)的二維擴(kuò)展。如圖1所示，作為一個(gè)二維機(jī)械系統(tǒng)，板球系統(tǒng)通常用于對(duì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的研究和在實(shí)驗(yàn)室中進(jìn)行經(jīng)典控制理論和現(xiàn)代控制理論的控制過(guò)程研究。其控制對(duì)象是具有2個(gè)相互垂直的旋轉(zhuǎn)軸的板，目的是讓一個(gè)自由滾動(dòng)的球能夠平衡在板上特定的位置，或者沿一定的軌跡滾動(dòng)。板繞x軸和y軸的旋轉(zhuǎn)由兩個(gè)電機(jī)驅(qū)動(dòng)，傳感裝置得到小球在板上的位置后反饋給控制系統(tǒng)，控制系統(tǒng)采用一定的控制策略控制板在x軸和y軸方向的轉(zhuǎn)角，達(dá)到對(duì)小球平衡位置和運(yùn)動(dòng)軌跡的控制。

現(xiàn)在實(shí)驗(yàn)室中的板球系統(tǒng)一般采用兩種傳感方式來(lái)檢測(cè)小球在板上的位置，即視覺(jué)傳感方式和觸摸屏傳感方式。本課題采用視覺(jué)反饋和編碼器反饋相結(jié)合的傳感方式得到系統(tǒng)的反饋并以此為依據(jù)進(jìn)行控制，如圖1所示。攝像頭懸掛在球板的正上方，連續(xù)采集球和板的圖像，控制系統(tǒng)通過(guò)圖像處理和圖像分析操作得到小球在板上的位置信息。在這一過(guò)程中，圖像采集和圖像處理的實(shí)時(shí)性是非常重要的，它影響到系統(tǒng)的響應(yīng)速度和控制精度。

攝像機(jī)作為小球位置傳感器采集小球圖像，控制系統(tǒng)的圖像識(shí)別模塊識(shí)別出小球在圖像矩陣中的坐標(biāo)。為了得到小球在板上的真實(shí)位置，此后要結(jié)合編碼器反饋的兩個(gè)電機(jī)轉(zhuǎn)角信息進(jìn)行坐標(biāo)變換以得到小球在板上的真實(shí)坐標(biāo)。此前，對(duì)攝像機(jī)內(nèi)外參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定是進(jìn)行坐標(biāo)變換并得到小球在板上真實(shí)位置的關(guān)鍵。

2 攝像機(jī)標(biāo)定

2.1 攝像機(jī)模型

視覺(jué)系統(tǒng)應(yīng)能從攝像機(jī)獲取的圖像信息出發(fā)，計(jì)算三維環(huán)境物體的位置、形狀等幾何信息，并由此識(shí)別環(huán)境中的物體。圖像上每一點(diǎn)的亮度反映了空間物體某一點(diǎn)反射光的強(qiáng)度，而該點(diǎn)在圖像上的位置則與空間物體相應(yīng)點(diǎn)的幾何位置有關(guān)。這些位置的相互關(guān)系，由攝像機(jī)成像幾何模型所決定。

本控制系統(tǒng)的視覺(jué)模塊的目標(biāo)是，得到小球在球盤(pán)上的真實(shí)位置。本文將系統(tǒng)所采用的攝像機(jī)視為線性攝像機(jī)模型（即針孔模型）對(duì)攝像機(jī)內(nèi)外參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定。

2.2 標(biāo)定步驟

（u，v）為以像素為單位的圖像坐標(biāo)系的坐標(biāo)，（x，y）表示以毫米為單位的圖像坐標(biāo)系的坐標(biāo)，如圖1所示。（Xc，Yc，Zc，1）為物點(diǎn)在攝像機(jī)坐標(biāo)系中的齊次坐標(biāo)，（Xw，Yw，Zw，1）為物點(diǎn)在世界坐標(biāo)系中的齊次坐標(biāo)，攝像機(jī)坐標(biāo)系與世界坐標(biāo)系如圖2所示。其具體過(guò)程如下：

（1） 根據(jù)采集到的幾幀圖像識(shí)別每個(gè)標(biāo)定點(diǎn)在圖像矩陣中的位置（ui，vi），每個(gè)標(biāo)定點(diǎn)在世界坐標(biāo)系中的坐標(biāo)（Xwi，Ywi，Zwi）是已知的。

（2） 根據(jù)各坐標(biāo)系之間的投影關(guān)系或旋轉(zhuǎn)平移關(guān)系，每個(gè)標(biāo)定點(diǎn)在圖像矩陣中的齊次坐標(biāo)（ui，vi，1）以及對(duì)應(yīng)在世界坐標(biāo)系中的齊次坐標(biāo)（Xwi，Ywi，Zwi，1）的坐標(biāo)映射關(guān)系如下：

（2-1）

（3） 式2-1中的mij即為所要求解的攝像機(jī)參數(shù)矩陣M的元素。消去式2-1中的Zci后，可得到如下兩個(gè)關(guān)于mij的線性方程：

（2-2）

（4） 攝像機(jī)標(biāo)定需要n個(gè)標(biāo)定點(diǎn)（n≥6），則可以得到2n個(gè)關(guān)于M矩陣的線性方程。

（2-3）

由式2-3可知，由空間6個(gè)以上已知點(diǎn)及其圖像點(diǎn)坐標(biāo)，用最小二乘法求解線性方程組，可以求出M矩陣（在一般的定標(biāo)工作中，都會(huì)采用識(shí)別數(shù)十個(gè)已知標(biāo)定點(diǎn)，使方程的個(gè)數(shù)大大超過(guò)未知數(shù)個(gè)數(shù)，從而用最小二乘法求解以降低誤差造成的影響）。

3 三維信息恢復(fù)

根據(jù)式2-3計(jì)算出M矩陣的各個(gè)元素后，若不需要知道攝像機(jī)的內(nèi)外參數(shù)，則不必對(duì)M矩陣進(jìn)行分解。此時(shí)攝像機(jī)標(biāo)定完成。由圖2可知，對(duì)于空間物體表面任意一點(diǎn)P，我們可以很容易由M矩陣求得其在圖像坐標(biāo)系中的坐標(biāo)p；然而卻無(wú)法由像點(diǎn)p，通過(guò)逆過(guò)程而得到空間物體表面點(diǎn)P的實(shí)際坐標(biāo)。這是因?yàn)椋贠P（O為攝像機(jī)的光心）連線上的任意一點(diǎn)P’，的圖像點(diǎn)都是P，因此，由p點(diǎn)的位置，我們只能知道空間點(diǎn)P位于Op連線上的某一位置，而無(wú)法得知P點(diǎn)的深度，從而由二維圖像信息恢復(fù)三維空間信息。

也就是說(shuō)，我們需要額外的信息計(jì)算P點(diǎn)的深度。

3.1 球盤(pán)平面方程

小球在球盤(pán)平面上滾動(dòng)，因此小球的深度信息與球盤(pán)的姿態(tài)有關(guān)。由于小球在球盤(pán)上滾動(dòng)，我們可將小球近似地看作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，則小球就是球盤(pán)所在平面上的一個(gè)點(diǎn)。根據(jù)電機(jī)編碼器的讀數(shù)可以算出球盤(pán)在任意時(shí)刻繞x軸和繞y軸的轉(zhuǎn)角，從而得到球盤(pán)相對(duì)于水平位置的旋轉(zhuǎn)矩陣，可以得到球盤(pán)的平面方程。小球質(zhì)心的空間坐標(biāo)點(diǎn)即為OP連線與球盤(pán)平面方程的交點(diǎn)。

假設(shè)在任意時(shí)刻，球盤(pán)繞x軸相的轉(zhuǎn)角為α，繞y軸的轉(zhuǎn)角為β，繞z軸的轉(zhuǎn)角為γ（此處提到的轉(zhuǎn)角均為相對(duì)于水平位置的轉(zhuǎn)角）。則球盤(pán)相對(duì)于水平位置的旋轉(zhuǎn)矩陣為：

（3-1） 球盤(pán)繞z軸的轉(zhuǎn)角γ＝0，則球盤(pán)的旋轉(zhuǎn)矩陣為：

（3-2）

球盤(pán)水平位置時(shí)所在的平面方程為zw=0，根據(jù)式3-2所示球盤(pán)的旋轉(zhuǎn)矩陣，可得球盤(pán)任意時(shí)刻繞x軸旋轉(zhuǎn)α角，繞y軸旋轉(zhuǎn)β角，其所在平面方程為：

（3-3）

3.2 OP連線方程

假設(shè)當(dāng)前小球質(zhì)心在圖像矩陣中的坐標(biāo)為（u，v），根據(jù)攝像機(jī)標(biāo)定過(guò)程計(jì)算得到的M矩陣，可以得到OP連線方程為：

（3-4）

聯(lián)立式3-3和式3-4得到線性方程組，

（3-5）

求解式3-5中的線性方程組可得到小球在世界坐標(biāo)系中的實(shí)際坐標(biāo)。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文介紹了板球系統(tǒng)中攝像機(jī)標(biāo)定的步驟，以及球板系統(tǒng)如何通過(guò)攝像機(jī)標(biāo)定的過(guò)程獲得攝像機(jī)M矩陣；并由視覺(jué)模塊分析攝像頭采集小球圖像得到小球質(zhì)心，根據(jù)計(jì)算得到M矩陣，通過(guò)坐標(biāo)變換獲取小球在空間中的位置的過(guò)程。