首先根據單電磁鐵的物理模型建立了磁懸浮系統在平衡點處的數學模型，并采用偽微分反饋控制（PDF）策略對懸浮系統進行控制。通過理論分析和計算機機仿真證明了PDF懸浮控制系統具有高穩定性、高精度、魯棒性強、可控性好等優點。 1 引言 磁懸浮系統本質上是一個非線性、不穩定的系統，對懸浮進行控制的方法有很多種，但大多數很復雜，成本也高，實際中應用地很少。而偽微分反饋控制（Pseudo Derivative Feedback，以下簡稱PDF）法是一種較新型的控制方法，目前PDF控制己在溫度控制、機器人手臂和電液伺服等系統中得到了很好的應用。理論和實踐都表明，PDF控制具有響應速度快，抗干擾能力強、魯棒性好等優點。本論文利用單電磁懸浮系統進行建模，模型的線性化，理論分析和仿真，說明PDF控制策略具有較好的控制性能。 2 單電磁鐵懸浮系統模型的建立 圖（1）所示為單電磁鐵與導軌組成的懸浮系統原理結構： mg:電磁鐵重力　□d：外界擾動量　F（i,t）：電磁吸力 z（t）：磁極表面相對參考平面的距離　h（t）：導軌表面相對參考平面的距離 c（t）：磁極與導軌間的氣隙　i（t）：控制線圈電流　u（t）：繞組回路的電壓 □□ΦT：主極磁通 Φm：氣隙磁通　ΦL：漏磁通 對單電磁鐵懸浮系統的動態模型進行數學建模 假定繞組漏磁通（即ΦL＝0）。導軌與磁極的距離為c（t）,忽略漏磁通以及導軌和磁鐵芯的磁阻，電磁鐵與導軌所形成的磁路的磁阻主要集中在兩者間的氣隙上，故有效氣隙磁阻RT為： 電磁鐵繞組電感為： 上式中：L為電感值，N為電磁鐵繞組匝數，ΦT為主極磁通，RT為磁路磁阻，A為鐵芯極面積，μ0為空氣磁導率，i（t）為控制線圈電流。μ0＝4π＊10-7H/m是空氣的磁導率 氣隙磁通密度為： 磁場儲能為： 電磁吸力與磁場能量的關系為： 對電磁鐵繞組回路的電壓方程分析可得： 結合電磁鐵在垂直方的受力情況，得出磁懸浮系統動態模型方程組如下（以向下為正方向）：其中fd為外界擾動量?？紤]到軌道作用面的變化，則：z（t）=h（t）+c（t）綜上所分析： 平衡點處的平衡方程為： 3 系統模型線性化與狀態方程的建立 在平衡點（i0,c0）附近對系統進行線性化，將式（2-5）在平衡點處作泰勒級數展開： 其中， 電壓方程在平衡點處的線性化方程為： 其中：線性化系統狀態方程的建立方程組（1）經過平衡點處線性化，選擇作為狀態變量，得到如下狀態方程： 由磁懸浮系統的系統方程可得出開環系統結構圖，如圖2所示。 為方便研究，我們假設Δh（t）=0，則有Δc（t）=Δz（t），即不考慮軌道作用面的變化。由磁懸浮系統的開環結構圖，我們可以得出懸浮氣隙（位置）對輸入電壓的傳遞函數： 系統的特征方程為： 由該表達式知，特征方程缺s的一次方項的系數，而且末項系數為負，根據勞斯判據，特征方程具有不穩定性。且開環系統是三階不穩定系統。所以這個系統需要加一個反饋控制器以保證系統穩定懸浮。 4 偽微分反饋控制器理論及仿真 4.1 PDF控制策略的由來 對工程中最常見的一階和二階對象進行反饋控制時，為了保證系統的穩定性，應當加上一階和二階微分環節，然而在實際系統中，二階以上的微分信號的直接測取時十分困難的，若采用被控變量或者其微分再經微分處理過后作為反饋信號，則又引起麻煩的噪聲問題。如果信號在反饋通道中先經微分，通過比較點之后，再進行積分“復原”，那不如使信號走捷徑直達末級控制元件的輸入處。用這種方法能獲得微分反饋信號而無須進行微分，或者只進行低階微分，因此稱之為偽微分反饋控制，這給工程帶來了極大方便。 4.2 PDF控制策略的基本思想 PDF控制，它是由美國康奈爾大學的Phelan教授于1971年率先提出的一種實用性很強的工程控制理論，西南交通大學機械學院陳留教授在留美期間，與Phelan教授合作，進一步完善和發展了這個理論，在一階、二階和高階系統中均取得了非常好的效果。目前PDF控制己在溫度控制、機器人手臂和電液伺服等系統中得到了很好的應用。 偽微分反饋控制策略的基本思想是：按照誤差控制的閉環系統，其控制器的作用就是對輸入的誤差信號進行計算從而產生輸出指令去整定功率驅動元件的輸出功率，最終使得被控對象朝著誤差減小的方向運動。理想的控制作用應該達到以下三個目標： （1）對任何誤差（恒值或時變值）均有反應； [IMG=圖2 磁懸浮系統開環結構圖]/uploadpic/THESIS/2007/11/2007111312515177025Y.jpg[/IMG] （2）該控制作用的結果可以完全消除一切形式干擾產生的誤差； （3）如果被控對象未按指令動作，該控制器應能產生使功率驅動元件提供隨時間而遞增的輸出功率的控制信號。 典型的PDF控制框圖如圖3所示，圖中R為參考輸入，躍參考輸入的幅值，E為差信號，C為輸出信號，L為干擾信號，G（S）為被控對象傳遞函數，傳函為1的方框代表末級控制單元，M1為其低能量級的控制信號，M2為其高能量級的輸出信號。由于受實際控制元件的制約，始終有M2≤Mmax ；Ki，Kp，Kd分別為PDF控制器的積分、比例、微分系數。 4.3 PDF控制參數的計算 確定控制參數使控制系統綜合的主要工作，并在此基礎上進行仿真，由圖（3）所示PDF控制框圖，需要確定三個控制參數Ki，Kp，Kd。它們需要按照某一選定的目標函數（例如ITAE,IAS,ISE及最小調整時間等），用約束優化的方法確定。這些方法各有千秋，但就算法的通用性和難易程度而言，陳留教授提出的“特征根結構理論”具有更大的優越性。 而給出的懸浮系統的模型參數如表1所示。 實際控制系統應滿足的設計指標為：上升指標tr≤0.2s，調整時間ts≤0.4s，超調量MP≤0.2。 由以上指標及模型參數，根據圖（3）所示PDF控制框圖，可以得到其傳遞函數為： 其閉環特征方程為： 根據給定的性能指標和陳方法關于PDF控制系數確定的特征根結構理論，選取閉環系統希望的極點為：s1,2=-20，s3=-200 此時系統相應快、無超調、魯棒性強，從而得到系統的特征方程為： □（s）=s3+240s2+8400s+80000 （10） 比較式子（9）和（10）的系數，可以得出： 式（11）中的數據代入（8）的得到傳遞函數為： 4.4 PDF懸浮控制系統的策略分析及matlab仿真 4.4.1 穩定性方面 如圖4所示，其閉環傳遞函數為： 顯然，系統的特征多項式是三階，可分解為的形式，即 令等式兩邊的對應系數相等，可以得到 由式（12）可以得知，通過適當調整，可以使系統達到任意希望的閉環傳遞函數分母多項式，因此PDF可調參數多，系統的可控性高。 4.4.2 控制精度方面 如圖4所示，其開環傳遞函數為： 由此可以得到PDF控制系統的誤差傳遞函數為： 對于的階躍輸入信號其穩態誤差為 由此可知，PDF控制對于階躍輸入信號是無靜態誤差的，控制精度高。 4.4.3 魯棒性方面 系統的魯棒性主要反映系統對外界干擾、被控對象內部參數發生變化時的抗干擾能力。對于PDF懸浮控制系統，參照圖4，系統對外界干擾L輸入的傳遞函數為： 階躍干擾對輸出產生的穩態誤差為： 即系統對階躍干擾信號無穩態誤差，當干擾時，對輸出產生的穩態誤差為： 可見，系統對速度信號的穩態誤差與被控系統的參數無關，而只與PDF控制器的一個參數有關，即被控系統的變化對系統干擾性能無影響，由此可見，PDF控制策略對被控對象的參數變化具有很強的魯棒性。 4.4.4 時間響應分析 PDF控制器再靜態性能和動態性能上都顯示了一定的優越性，圖5分別為PDF閉環控制系統在階躍輸入信號和階躍干擾信號作用下的仿真結果。 由圖5a所示，PDF懸浮控制系統比較穩定，在階躍信號輸入下穩態誤差為零，系統經過0.3秒的時間達到穩定并且無超調，且動態性能好，輸入為零時，在階躍信號的干撓下，穩態圖5b顯示穩態誤差幾乎為零。PDF控制器對被控參數的變化不敏感，具有很強的魯棒性，較高的精確度，這就說明PDF控制器對被控對象的數學模型并不做精確的要求，一定的偏差并不會給系統帶來性能的影響。 5 結束語 本文首先采用單電磁鐵方法建立了懸浮控制系統的數學模型，運用PDF控制策略對懸浮系統進行控制，通過對PDF控制系統的性能和計算機仿真分析，得出如下結論： （1） PDF懸浮控制系統具有響應速度快、控制精度高、可控性好、抗干擾能力和魯棒性強等優點，具有較強的實際應用價值和廣闊的發針前景。 （2） PDF懸浮控制對被控對象的數學模型并不做精確的要求，一定的偏差并不會給系統帶來性能的影響。 第二屆伺服與運動控制論壇論文集 第三屆伺服與運動控制論壇論文集